Media, varianza y eventos extremos

Por qué un pequeño cambio en la media tiene grandes consecuencias

estadística
clima
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AUTOR

Juan Riera

PUBLICADO

6 de abril de 2026

¿Qué tiene que ver la estadística con el clima?

Cuando hablamos del clima, solemos pensar en la temperatura media: “este verano ha sido más cálido que el anterior” o “el invierno ha sido más frío de lo normal”. Pero la media es solo una parte de la historia. Para entender por qué los fenómenos meteorológicos extremos — olas de calor, heladas tardías, lluvias torrenciales — son cada vez más frecuentes e intensos, necesitamos entender dos conceptos estadísticos fundamentales: la media y la varianza.

En este post explico estos conceptos apoyándome en un artículo de The Economist sobre el cambio climático. El artículo original se incluye en las referencias al final del post.

La distribución de las temperaturas a lo largo del tiempo sigue aproximadamente una distribución normal: la mayoría de los días tienen temperaturas cercanas a la media, y los días muy fríos o muy calurosos son poco frecuentes. En los gráficos siguientes, la curva gris representa la distribución de referencia — el clima “habitual” — y la curva negra muestra cómo se modifica esa distribución según tres escenarios posibles.

Escenario 1: aumenta la media

El primer escenario es el más intuitivo: la temperatura media sube. La curva se desplaza hacia la derecha — hacia valores más altos — manteniendo la misma forma.

¿Qué consecuencias tiene esto sobre los extremos? En la cola izquierda — los días muy fríos — la curva nueva queda por debajo de la original: hay menos días de frío extremo. En la cola derecha — los días muy calurosos — la curva nueva supera a la original: hay más días de calor extremo. Un desplazamiento aparentemente pequeño de la media tiene un efecto desproporcionado sobre los valores extremos, porque en las colas de la distribución normal incluso pequeños cambios multiplican la frecuencia de los eventos poco habituales.

Mostrar código R 
library(ggplot2)
library(dplyr)

# Parámetros
media_ref <- 0;  sd_ref <- 1
media_new <- 1;  sd_new <- 1
x_min <- -4;     x_max <- 5
umbral_frio  <- -2.5
umbral_calor <-  2.5

# Colores
col_fondo     <- "#d6e4f0"
col_curva_ref <- "#a0aec0"
col_curva_new <- "#1a1a1a"
col_frio      <- "#4299e1"
col_calor     <- "#c0392b"
col_texto     <- "#2d3748"

# Datos para áreas sombreadas
x_seq <- seq(x_min, x_max, length.out = 1000)

df_frio <- data.frame(x = x_seq) |>
  mutate(
    y_ref = dnorm(x, media_ref, sd_ref),
    y_new = dnorm(x, media_new, sd_new)
  ) |>
  filter(x <= umbral_frio, y_ref > y_new)

df_calor <- data.frame(x = x_seq) |>
  mutate(
    y_ref = dnorm(x, media_ref, sd_ref),
    y_new = dnorm(x, media_new, sd_new)
  ) |>
  filter(x >= umbral_calor, y_new > y_ref)

ggplot(data.frame(x = c(x_min, x_max)), aes(x)) +
  geom_ribbon(data = df_frio,
              aes(x = x, ymin = y_new, ymax = y_ref),
              fill = col_frio, alpha = 0.6) +
  geom_ribbon(data = df_calor,
              aes(x = x, ymin = y_ref, ymax = y_new),
              fill = col_calor, alpha = 0.8) +
  stat_function(fun = dnorm, args = list(media_ref, sd_ref),
                colour = col_curva_ref, linewidth = 1.2) +
  stat_function(fun = dnorm, args = list(media_new, sd_new),
                colour = col_curva_new, linewidth = 1.4) +
  geom_vline(xintercept = media_ref, colour = col_curva_ref,
             linetype = "dashed", linewidth = 0.6) +
  annotate("segment",
           x = 0.1, xend = 0.85,
           y = dnorm(0, 0, 1) * 1.05,
           yend = dnorm(0, 0, 1) * 1.05,
           colour = "darkblue", linewidth = 1,
           arrow = arrow(length = unit(0.3, "cm"), type = "open")) +
  annotate("text", x = umbral_frio - 0.1,
           y = dnorm(umbral_frio, media_ref, sd_ref) + 0.06,
           label = "Menos frío\nextremo",
           colour = col_frio, size = 4.5, hjust = 1) +
  annotate("text", x = 3.8,
           y = dnorm(umbral_calor, media_ref, sd_ref) + 0.06,
           label = "Más calor\nextremo",
           colour = col_calor, size = 4.5, hjust = 0.5) +
  annotate("text", x = x_min + 0.1, y = -0.012, label = "Frío",
           colour = col_texto, size = 4, hjust = 0) +
  annotate("text", x = x_max - 0.1, y = -0.012, label = "Calor",
           colour = col_texto, size = 4, hjust = 1) +
  annotate("text", x = media_ref, y = -0.018, label = "Temperatura \nmedia",
           colour = col_curva_ref, size = 4, hjust = 0.5) +
  annotate("segment",
           x = -2.9, xend = -2.7,
           y = 0.05, yend = 0.02,
           colour = col_frio, linewidth = 1.1) +
  annotate("segment",
           x = 3.8, xend = 3.6,
           y = 0.05, yend = 0.02,
           colour = col_calor, linewidth = 1.1) +
  labs(title = "Aumento de la media") +
  xlim(x_min, x_max) +
  theme_void() +
  theme(
    plot.background  = element_rect(fill = col_fondo, colour = NA),
    panel.background = element_rect(fill = col_fondo, colour = NA),
    plot.title = element_text(colour = col_texto, size = 14, face = "bold",
                              margin = margin(t = 12, l = 12, b = 8)),
    plot.margin = margin(10, 20, 15, 20),
    panel.grid.major.y = element_line(colour = "#b8cfe0", linewidth = 0.4)
  )

Escenario 2: aumenta la varianza

El segundo escenario es menos intuitivo pero igual de importante: la media no cambia, pero la distribución se hace más ancha. Esto significa que hay más días con temperaturas alejadas de la media — tanto por arriba como por abajo.

Una mayor varianza implica un clima más irregular e impredecible: los días de temperatura moderada son menos frecuentes, y tanto los días de frío extremo como los de calor extremo son más frecuentes que antes. La curva negra tiene el mismo centro que la gris, pero sus colas son más pesadas — hay más probabilidad de encontrar valores en los extremos.

Mostrar código R 
media_ref <- 0;  sd_ref <- 1
media_new <- 0;  sd_new <- 1.3
x_min <- -4;     x_max <- 5
umbral_frio  <- -2.5
umbral_calor <-  2.5

df_frio <- data.frame(x = x_seq) |>
  mutate(
    y_ref = dnorm(x, media_ref, sd_ref),
    y_new = dnorm(x, media_new, sd_new)
  ) |>
  filter(x <= umbral_frio, y_new > y_ref)

df_calor <- data.frame(x = x_seq) |>
  mutate(
    y_ref = dnorm(x, media_ref, sd_ref),
    y_new = dnorm(x, media_new, sd_new)
  ) |>
  filter(x >= umbral_calor, y_new > y_ref)

ggplot(data.frame(x = c(x_min, x_max)), aes(x)) +
  geom_ribbon(data = df_frio,
              aes(x = x, ymin = y_ref, ymax = y_new),
              fill = col_frio, alpha = 0.6) +
  geom_ribbon(data = df_calor,
              aes(x = x, ymin = y_ref, ymax = y_new),
              fill = col_calor, alpha = 0.8) +
  stat_function(fun = dnorm, args = list(media_ref, sd_ref),
                colour = col_curva_ref, linewidth = 1.2) +
  stat_function(fun = dnorm, args = list(media_new, sd_new),
                colour = col_curva_new, linewidth = 1.4) +
  geom_vline(xintercept = media_ref, colour = col_curva_ref,
             linetype = "dashed", linewidth = 0.6) +
  annotate("segment",
           x = -0.1, xend = -0.9,
           y = dnorm(0, 0, 1) * 0.3,
           yend = dnorm(0, 0, 1) * 0.3,
           colour = "darkblue", linewidth = 1,
           arrow = arrow(length = unit(0.3, "cm"), type = "open")) +
  annotate("segment",
           x = 0.1, xend = 0.9,
           y = dnorm(0, 0, 1) * 0.3,
           yend = dnorm(0, 0, 1) * 0.3,
           colour = "darkblue", linewidth = 1,
           arrow = arrow(length = unit(0.3, "cm"), type = "open")) +
  annotate("text", x = umbral_frio - 0.1,
           y = dnorm(umbral_frio, media_ref, sd_ref) + 0.08,
           label = "Más frío\nextremo",
           colour = col_frio, size = 4.5, hjust = 1) +
  annotate("text", x = 3.8,
           y = dnorm(umbral_calor, media_ref, sd_ref) + 0.08,
           label = "Más calor\nextremo",
           colour = col_calor, size = 4.5, hjust = 0.5) +
  annotate("text", x = x_min + 0.1, y = -0.012, label = "Frío",
           colour = col_texto, size = 4, hjust = 0) +
  annotate("text", x = x_max - 0.1, y = -0.012, label = "Calor",
           colour = col_texto, size = 4, hjust = 1) +
  annotate("text", x = media_ref, y = -0.018, label = "Temperatura \nmedia",
           colour = col_curva_ref, size = 4, hjust = 0.5) +
  annotate("segment",
           x = -2.9, xend = -2.7,
           y = 0.07, yend = 0.04,
           colour = col_frio, linewidth = 1.1) +
  annotate("segment",
           x = 3.6, xend = 3.3,
           y = 0.07, yend = 0.02,
           colour = col_calor, linewidth = 1.1) +
  labs(title = "Aumento de la varianza") +
  xlim(x_min, x_max) +
  theme_void() +
  theme(
    plot.background  = element_rect(fill = col_fondo, colour = NA),
    panel.background = element_rect(fill = col_fondo, colour = NA),
    plot.title = element_text(colour = col_texto, size = 14, face = "bold",
                              margin = margin(t = 12, l = 12, b = 8)),
    plot.margin = margin(10, 20, 15, 20),
    panel.grid.major.y = element_line(colour = "#b8cfe0", linewidth = 0.4)
  )

Escenario 3: aumentan la media y la varianza

El tercer escenario combina los dos anteriores y es el más preocupante desde el punto de vista climático: la media sube y la distribución se hace más ancha al mismo tiempo.

El efecto sobre la cola fría es ambiguo: el desplazamiento de la media reduce los episodios de frío extremo, pero el aumento de la varianza los incrementa; el resultado neto depende de la magnitud relativa de cada cambio. En la cola caliente, en cambio, los dos efectos se suman: tanto el desplazamiento como el ensanchamiento contribuyen a aumentar la frecuencia e intensidad de los episodios de calor extremo. El resultado es una asimetría clara: mucho más calor extremo, con un efecto menos definido sobre el frío.

Este tercer escenario es el que mejor describe lo que los modelos climáticos actuales proyectan para las próximas décadas, según el quinto informe de evaluación del IPCC.

Mostrar código R 
media_ref <- 0;  sd_ref <- 1
media_new <- 1;  sd_new <- 1.3
x_min <- -4;     x_max <- 5
umbral_frio  <- -2.5
umbral_calor <-  2.5

df_frio <- data.frame(x = x_seq) |>
  mutate(
    y_ref = dnorm(x, media_ref, sd_ref),
    y_new = dnorm(x, media_new, sd_new)
  ) |>
  filter(x <= umbral_frio, y_ref > y_new)

df_calor <- data.frame(x = x_seq) |>
  mutate(
    y_ref = dnorm(x, media_ref, sd_ref),
    y_new = dnorm(x, media_new, sd_new)
  ) |>
  filter(x >= umbral_calor, y_new > y_ref)

ggplot(data.frame(x = c(x_min, x_max)), aes(x)) +
  geom_ribbon(data = df_frio,
              aes(x = x, ymin = y_new, ymax = y_ref),
              fill = col_frio, alpha = 0.6) +
  geom_ribbon(data = df_calor,
              aes(x = x, ymin = y_ref, ymax = y_new),
              fill = col_calor, alpha = 0.8) +
  stat_function(fun = dnorm, args = list(media_ref, sd_ref),
                colour = col_curva_ref, linewidth = 1.2) +
  stat_function(fun = dnorm, args = list(media_new, sd_new),
                colour = col_curva_new, linewidth = 1.4) +
  geom_vline(xintercept = media_ref, colour = col_curva_ref,
             linetype = "dashed", linewidth = 0.6) +
  geom_vline(xintercept = media_new, colour = col_curva_new,
             linetype = "dashed", linewidth = 0.6) +
  annotate("segment",
           x = 0.1, xend = 0.85,
           y = dnorm(0, 0, 1) * 1.05,
           yend = dnorm(0, 0, 1) * 1.05,
           colour = "darkblue", linewidth = 1,
           arrow = arrow(length = unit(0.3, "cm"), type = "open")) +
  annotate("segment",
           x = 0.9, xend = 0.1,
           y = dnorm(0, 0, 1) * 0.3,
           yend = dnorm(0, 0, 1) * 0.3,
           colour = "darkblue", linewidth = 1,
           arrow = arrow(length = unit(0.3, "cm"), type = "open")) +
  annotate("segment",
           x = 1.1, xend = 1.9,
           y = dnorm(0, 0, 1) * 0.3,
           yend = dnorm(0, 0, 1) * 0.3,
           colour = "darkblue", linewidth = 1,
           arrow = arrow(length = unit(0.3, "cm"), type = "open")) +
  annotate("text", x = umbral_frio - 0.1,
           y = dnorm(umbral_frio, media_ref, sd_ref) + 0.08,
           label = "Mucho menos\nfrío extremo",
           colour = col_frio, size = 4.5, hjust = 1) +
  annotate("text", x = 4,
           y = dnorm(umbral_calor, media_ref, sd_ref) + 0.09,
           label = "Mucho más calor\nextremo",
           colour = col_calor, size = 4.5, hjust = 0.5) +
  annotate("text", x = x_min + 0.1, y = -0.012, label = "Frío",
           colour = col_texto, size = 4, hjust = 0) +
  annotate("text", x = x_max - 0.1, y = -0.012, label = "Calor",
           colour = col_texto, size = 4, hjust = 1) +
  annotate("text", x = media_ref, y = -0.018, label = "Temperatura \nmedia",
           colour = col_curva_ref, size = 4, hjust = 0.5) +
  annotate("segment",
           x = -2.9, xend = -2.7,
           y = 0.07, yend = 0.02,
           colour = col_frio, linewidth = 1.1) +
  annotate("segment",
           x = 3.9, xend = 3.7,
           y = 0.08, yend = 0.05,
           colour = col_calor, linewidth = 1.1) +
  labs(title = "Aumento de la media y de la varianza") +
  xlim(x_min, x_max) +
  theme_void() +
  theme(
    plot.background  = element_rect(fill = col_fondo, colour = NA),
    panel.background = element_rect(fill = col_fondo, colour = NA),
    plot.title = element_text(colour = col_texto, size = 14, face = "bold",
                              margin = margin(t = 12, l = 12, b = 8)),
    plot.margin = margin(10, 20, 15, 20),
    panel.grid.major.y = element_line(colour = "#b8cfe0", linewidth = 0.4)
  )

La estadística detrás del titular

La próxima vez que leas que “las olas de calor son cada vez más frecuentes e intensas”, recuerda estos tres gráficos. No es solo que haga más calor en promedio — es que la distribución completa se ha desplazado y ensanchado, y en las colas de una distribución normal los cambios se amplifican. Un aumento de un grado en la media puede duplicar o triplicar la frecuencia de los eventos que antes considerábamos excepcionales.

Entender la media y la varianza no es solo un ejercicio académico: es la clave para leer correctamente las noticias sobre el clima.

Referencias

IPCC. Climate Change 2013: The Physical Science Basis. Contribution of Working Group I to the Fifth Assessment Report of the Intergovernmental Panel on Climate Change. Stocker TF, Qin D, Plattner G-K, et al., eds. Cambridge University Press; 2013.

The Economist. Extreme weather events are getting more frequent. The Economist. February 8, 2023. https://www.economist.com/science-and-technology/2023/02/08/extreme-weather-events-are-getting-more-frequent