Apéndice E — La media aritmética como centro de gravedad de un grupo de datos
Para ver cómo la media aritmética equivale al punto de equilibrio o centro de gravedad de un grupo de datos, imaginaremos que tenemos un conjunto de datos cuyos valores se distribuyen en un eje longitudinal X. Podemos hacer equivalentes estos valores a un conjunto de pesos que se distribuyen a lo largo de una barra, y vamos a suponer que existe un punto a una distancia \(d_i\) del origen de la barra en el cual dicha barra está en equilibrio. Para encontrar ese valor, empezaremos considerando el principio o ley de la palanca.
El Principio de la Palanca o la Ley de la Palanca fue formulada por el científico y matemático griego Arquímedes. Este principio dice que, en equilibrio, el producto de la fuerza aplicada (potencia) por su distancia al punto de apoyo (brazo de la potencia) es igual al producto de la resistencia por su distancia al punto de apoyo (brazo de la resistencia). Matemáticamente, se expresa como: \[ P \cdot d_p = R \cdot d_r \]
Donde:
- \(P\) es la potencia o fuerza aplicada.
- \(d_p\) es la distancia desde el punto de apoyo hasta el punto donde se aplica la potencia (BP: brazo de la potencia).
- \(R\) es la resistencia o carga.
- \(d_r\) es la distancia desde el punto de apoyo hasta el punto donde se aplica la resistencia (BR: brazo de la resistencia).
E.1 Ejemplo
Si tienes una palanca con una longitud de 5 metros y aplicas una fuerza de 10 Newtons a 1 metro del punto de apoyo, para mantener el equilibrio, la fuerza de resistencia en el otro extremo a 4 metros del punto de apoyo debería ser:
\[ P \cdot d_p = R \cdot d_r \]
\[ 10 \, \text{N} \cdot 1 \, \text{m} = R \cdot 4 \, \text{m} \]
\[ R = \frac{10 \cdot 1}{4} = 2,5 \text{N} \]
Ahora vamos a considerar el punto de equilibrio de una barra de la que se cuelgan diferentes pesos a diferente distancias de su origen. Calcular el punto de equilibrio de una barra de la que se cuelgan diferentes pesos a diferentes distancias de su origen es un problema clásico de física que se puede resolver usando el principio de momentos.
E.2 Paso a paso
Identificar las fuerzas: Supongamos que tienes varios pesos \(W_1, W_2, W_3, \ldots, W_n\) colgados a distancias \(d_1, d_2, d_3, \ldots, d_n\) del origen (punto de apoyo).
Calcular los momentos: El momento (\(M\)) de un peso alrededor del punto de apoyo se calcula como el producto de la fuerza (peso) y la distancia al punto de apoyo:
\[ M_i = W_i \times d_i \]
Sumar los momentos: Calcula la suma de todos los momentos: \[ M_{\text{total}} = W_1 \times d_1 + W_2 \times d_2 + W_3 \times d_3 + \ldots + W_n \times d_n \]
Calcular el peso total: Suma todos los pesos: \[ W_{\text{total}} = W_1 + W_2 + W_3 + \ldots + W_n \]
Determinar el punto de equilibrio (\(x\)): El punto de equilibrio se encuentra dividiendo la suma de los momentos por el peso total: \[ x = \frac{\sum (W_i \times d_i)}{\sum W_i} \]
E.3 Ejemplo práctico
Supongamos que tenemos tres pesos de 4, 9 y 1 kg, situados, respectivamente, a 2, 1 y 3 m respectivamente del origen de la barra.
- \(W_1 = 4 \, \text{kg}\) a \(d_1 = 2 \, \text{m}\)
- \(W_2 = 9 \, \text{kg}\) a \(d_2 = 1 \, \text{m}\)
- \(W_3 = 1 \, \text{kg}\) a \(d_3 = 3 \, \text{m}\)
Calcular los momentos: \[ M_1 = 4 \times 2 = 8 \, \text{kg·m} \] \[ M_2 = 9 \times 1 = 9 \, \text{kg·m} \] \[ M_3 = 1 \times 3 = 3 \, \text{kg·m} \]
Sumar los momentos: \[ M_{\text{total}} = 8 + 9 + 3 = 20 \, \text{kg·m} \]
Calcular el peso total: \[ W_{\text{total}} = 4 + 9 + 1 = 14 \, \text{kg} \]
Determinar el punto de equilibrio:
\[ x = \frac{20}{14} \approx 1{,}43 \, \text{m} \]
El punto de equilibrio se encuentra a aproximadamente 1,43 metros del origen.
E.4 Media ponderada
En muchas situaciones, el centro de gravedad de un sistema de masas puede interpretarse como una media ponderada de las posiciones de las masas.
Media aritmética
Para un conjunto de números \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), la media aritmética es: \[ \text{Media} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \]
Media ponderada
Para un conjunto de valores \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) con pesos asociados \(w_1, w_2, \ldots, w_n\), la media ponderada es: \[ \text{Media ponderada} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n} \]
E.5 Centro de gravedad como media ponderada
Cuando calculamos el centro de gravedad (\(x_{\text{cg}}\)) de un sistema de masas, estamos esencialmente calculando una media ponderada de las posiciones (\(x_i\)) de esas masas (\(m_i\)):
\[ x_{\text{cg}} = \frac{\sum (m_i \cdot x_i)}{\sum m_i} \]
Aquí, las posiciones \(x_i\) son ponderadas por las masas \(m_i\).
Ejemplo numérico
En nuestro ejemplo anterior,
- Masa 1: \(m_1 = 4 \, \text{kg}\) en posición \(x_1 = 2 \, \text{m}\)
- Masa 2: \(m_2 = 9 \, \text{kg}\) en posición \(x_2 = 1 \, \text{m}\)
- Masa 3: \(m_3 = 1 \, \text{kg}\) en posición \(x_3 = 3 \, \text{m}\)
La media aritmética de las posiciones sería: \[ \text{Media} = \frac{2 + 1 + 3}{3} = 2 \, \text{m} \]
El punto de equilibrio de la barra, o centro de gravedad, calculado como media ponderada, sería:
\[ x_{\text{cg}} = \frac{(4 \cdot 2) + (9 \cdot 1) + (1 \cdot 3)}{4 + 9 + 1} = \frac{8 + 9 + 3}{14} = \frac{20}{14} \approx 1{,}43 \, \text{m} \]
que es el mismo resultado que obteníamos formulando el cálculo de los momentos; la fórmula resulta ser idéntica. Nótese que la media aritmética de las posiciones (\(\frac{2+1+3}{3} = 2\,\text{m}\)) difiere del centro de gravedad (\(1{,}43\,\text{m}\)) precisamente porque las masas no son iguales: el peso de 9 kg situado a solo 1 m del origen arrastra el punto de equilibrio hacia ese extremo.
E.6 Media aritmética y centro de gravedad con masas idénticas
En los ejemplos anteriores, calculábamos el punto de equilibrio para diferentes pesos colocados a lo largo de una barra. Si en vez de eso suponemos que la distancia al origen de la barra equivale a nuestro eje \(X\), que recoge los valores de los que queremos calcular nuestra media aritmética, podemos eliminar el efecto de la masa suponiendo que todas las masas son iguales.
Si las masas de los diferentes objetos son idénticas, podemos decir que la media aritmética de las posiciones coincide con el centro de gravedad. Esto se debe a que, en este caso, cada masa tiene el mismo peso o influencia en el cálculo del centro de gravedad. Esta es la explicación detallada:
Suposición: Cada objeto tiene la misma masa \(m\).
Media aritmética
Para un conjunto de posiciones \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), la media aritmética es: \[ \text{Media} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \]
Centro de gravedad
El centro de gravedad (\(x_{\text{cg}}\)) para un conjunto de masas idénticas en posiciones \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) es: \[ x_{\text{cg}} = \frac{\sum (m \cdot x_i)}{\sum m} \]
Dado que las masas \(m\) son idénticas, el numerador se convierte en: \[ \sum (m \cdot x_i) = m \cdot (x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \]
Y el denominador se convierte en: \[ \sum m = n \cdot m \]
Al sustituir estos en la fórmula del centro de gravedad, obtenemos: \[ x_{\text{cg}} = \frac{m \cdot (x_1 + x_2 + \cdots + x_n)}{n \cdot m} \]
Al simplificar, los términos \(m\) se cancelan, y nos queda: \[ x_{\text{cg}} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \]
que es exactamente la fórmula de la media aritmética.
Si repetimos nuestro ejemplo anterior, suponiendo en este caso masas idénticas
- Masa 1: \(m_1 = 1 \, \text{kg}\) en posición \(x_1 = 2 \, \text{m}\)
- Masa 2: \(m_2 = 1 \, \text{kg}\) en posición \(x_2 = 1 \, \text{m}\)
- Masa 3: \(m_3 = 1 \, \text{kg}\) en posición \(x_3 = 3 \, \text{m}\)
La media aritmética de las posiciones sería:
\[ \text{Media} = \frac{2 + 1 + 3}{3} = 2 \, \text{m} \]
El punto de equilibrio de la barra, o centro de gravedad, calculado como media ponderada, sería:
\[ x_{\text{cg}} = \frac{(1 \cdot 2) + (1 \cdot 1) + (1 \cdot 3)}{1 + 1 + 1} = \frac{2 + 1 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2 \, \text{m} \]
que es el mismo resultado que obteníamos con la fórmula de la media aritmética de las distancias.
E.7 Conclusión
Cuando las masas son idénticas, la media aritmética de las posiciones coincide con el centro de gravedad. Esto nos permite afirmar que en el caso de una dimensión (por ejemplo, el peso) la media aritmética de un conjunto de valores coincide con el centro de gravedad o punto de equilibrio de ese conjunto de valores. Este es un resultado interesante que muestra la conexión entre conceptos estadísticos y físicos.
E.8 Importancia del concepto de la media como centro de gravedad, y su comparación con la mediana.
Entender la media como punto de equilibrio tiene una consecuencia práctica directa: permite visualizar de forma intuitiva el efecto de los valores extremos u outliers.
Cuando un conjunto de datos contiene un valor muy alejado del resto, ese valor actúa como un peso situado lejos del fulcro. Por la ley de la palanca, su momento —el producto de su magnitud por su distancia al centro— es desproporcionadamente grande respecto a los valores moderados. El punto de equilibrio, es decir, la media, se desplaza hacia ese extremo mucho más de lo que cabría esperar por un único dato.
Este desplazamiento tiene dos efectos simultáneos: la media deja de representar bien al grupo mayoritario de valores, y la varianza —que mide la suma de las distancias al cuadrado— se incrementa de forma acusada porque el valor extremo contribuye con una distancia muy grande elevada al cuadrado.
La mediana, en cambio, no se ve afectada de la misma manera: al ser el valor central por orden de magnitud, un único dato extremo no puede desplazarla más allá de una posición. Por eso, ante distribuciones con valores atípicos, la mediana y el rango intercuartil son estadísticos más robustos y más fiables para describir el conjunto de datos.